図形の調べ方

1. 
   同位角は等しいので，\(\angle a\:=\:45°\)
   対頂角は等しいので，\(\angle b\:=\:75°\)
   \(\begin{eqnarray} \angle a + \angle b + \angle x &=& 180° \\ 45 + 75 + \angle x&=& 180 \\ \angle x &=& 180 – 120 \\ &=& 60 \end{eqnarray} \)
   \(\begin{eqnarray} \angle y + \angle b &=& 180 \\ \angle y &=& 180 – 75 \\ &=& 105 \end{eqnarray} \)
2. 
   この種の問題では，元々の平行線と平行に補助線を引く(直線 n)。
   上図で，\(\angle a + \angle b \:=\: \angle x \)
   \(\angle c\)と\(\angle a\)，\(\angle d\)と\(\angle b\)はそれぞれ平行線の錯角であり，それぞれの角の組は等しい。また，対頂角の関係から，
   \(\angle c = 30°.\:\angle d = 45°\)であるので，\(\angle a\:=\:30°,\:\angle b\:=\:45°\)
   したがって，\(\angle x = 30 + 45 = 75°\)
   \(\angle y + 30 = 180\) より，\(\angle y = 150°\)

1. 二つの考え方を示します。(根本的には同じことを言ってます。)
   
   【考え方1】「三角形の外角の大きさは，外角の隣にない2つの内角の和に等しい」という関係を利用する。
   三角形の内角と外角の関係から，
   \(\begin{eqnarray} \angle CAB + \angle ABC &=& \angle ACD \\ x + 70 &=& 120 \\ x &=& 120 – 70 \\ &=& 50 \end{eqnarray} \)
   【考え方2】「三角形の内角の和は，\(180°\)である」ことを利用する。\(3点B, C, D は一直線上にあるので，\)
   \(\begin{eqnarray} \angle BCA + \angle ACD &=& 180 \\ \angle BCA &=& 180 – 120 \\ &=& 60 \end{eqnarray} \)
   三角形の内角の和は 180 度であるので，
   \(\begin{eqnarray} \angle CAB + \angle ABC + \angle BCA &=& 180 \\ x + 70 + 60 &=& 180 \\ x &=& 180 – (70+60) \\ &=& 50 (°)\end{eqnarray} \)
2. 二つの三角形に着目して，不明な角を徐々に明らかにします。
   
   線分BCとDEの交点をFとする。
   \(\triangle CAB において，\)
   \(\angle BCA = 180 – \angle DCB = 180 – 80 = 100 (°)\)
   \(\angle CAB = 30 (°)\)
   であるので，\(\angle ABC = 50 (°)\)
   \(次に，\triangle FEB において\)
   \(\angle BFE = 180 – 100 = 80 (°)\)
   三角形の内角の和は180°であるので，
   \(\begin{eqnarray} x + \angle EBF + \angle BFE &=& 180 \\ x + 50 + 80 &=& 180 \\ x &=& 80 (°)\end{eqnarray} \)
3. いわゆるブーメラン型の角度の求め方です。
   
   2点ADを結び，その延長上に点Eをおきます。
   このとき，\(\angle BDE (\angle a) は，\triangle DAB において，頂点Dにおける外角であり，\)
   \(\angle CDE (\angle b) は，\triangle DCA において，頂点Dにおける外角である。\)
   それぞれの三角形において，内角と外角の関係より，
   \(\begin{eqnarray} \angle a &=& \angle DAB + \angle ABD … ① \\ \angle b &=& \angle CAD + \angle DCA … ② \end{eqnarray} \)
   \(① + ② より，\)
   \(\begin{eqnarray} \angle a + \angle b &=& \angle DAB + \angle CAD + \angle ABD + \angle DCA \\
   \angle x &=& \angle CAB + \angle ABD + \angle DCA \\ &=& 55 + 25 + 35 \\ &=& 115 (°) \end{eqnarray} \)
4. 四角形ABCDにおいて，内角の和は 360° であるので，
   \(\begin{eqnarray} \angle A + \angle B + \angle C + \angle D &=& 360 \\ 2a + 100 + 110 + 2b &=& 360 \\ 2a + 2b &=& 150 \\ a + b &=& 75 \;\dots\;①\end{eqnarray} \)
   三角形AEDにおいて，内角の和は 180° であるので，
   \(\begin{eqnarray} \angle EAD + \angle ADE + \angle DEA &=& 180 \\ a + b + x &=& 180 \\①より，75 + x &=& 180 \\ x &=& 105 \end{eqnarray} \)

 
[証明] (2点C, D および 2点B, Dをそれぞれ結んで，二つの三角形\(\triangle ABD\:と\:\triangle ACD\)に着目する。)