二次方程式の解き方
二次方程式とは，\(ax^2\: + \:bx\: + \:c\: =\: 0\) \((\:a \:≠\: 0,\; a,\: b,\: c\: は定数または文字式\:)\) のような形式で表される式であり，二次方程式を解くとは，二次方程式を満たす \(x\) の値を求めることです。\(x\) の値は，具体的な数値で表せる場合もあれば，文字(式) \(\:a,\: b,\: c\:\) を使って表す場合もあります。ここでは，二次方程式を解く方法を３パターン紹介します。
二次方程式の解き方
- 平方根を求める方法
- 因数分解する方法
- 解の公式を利用する方法
例題として，次の方程式を3つの方法で解いてみます。
【例題】二次方程式：\(x^2 \:-\: 4 \:=\: 0\) を解きなさい。
【パターン１：平方根を求める方法】
方程式 \(x^2 \:-\: 4 \:=\: 0\) は，\(x^2 \:=\: 4\) と変形でき，平方根の項で示した通り，これを満たす \(x\) の値は，\(\pm2\) となります。2次方程式\(ax^2+bx+c\:=\:0\)において，\(a=1, \:b\:\)が偶数の場合は，この方法で解くと素早く解ける場合が多いです。
【パターン２：因数分解する方法】
問題の方程式の左辺は，\(x^2\:-\:4\:=\:(x + 2)(x \:-\: 2)\) と因数分解できますので，元の方程式は，\((x + 2)(x \:-\: 2) \:=\: 0 \)と表すことができます。
すると，この問題は，「\((x + 2)\)と\((x\: – \:2)\)を掛けて 0 になるような\(\:x\:\)を求めなさい。」ということになります。
２つの数値を掛けた結果が０になるのは，どちらか一方(または両方)の値が０になる場合のみです。
したがって，この方程式が成り立つのは，\(x\:+\:2\:=\:0\)，または，\(x\:-\:2\:=\:0\) のときだけで，
\(x\:=\:-2\), または，\(x\:=\:2\) すなわち，\(x\:=\:\pm2\) となります。
すると，この問題は，「\((x + 2)\)と\((x\: – \:2)\)を掛けて 0 になるような\(\:x\:\)を求めなさい。」ということになります。
２つの数値を掛けた結果が０になるのは，どちらか一方(または両方)の値が０になる場合のみです。
したがって，この方程式が成り立つのは，\(x\:+\:2\:=\:0\)，または，\(x\:-\:2\:=\:0\) のときだけで，
\(x\:=\:-2\), または，\(x\:=\:2\) すなわち，\(x\:=\:\pm2\) となります。
【パターン３：解の公式を利用する方法】
二次方程式を解く方法として，ズバリ，「解の公式」という名前の公式があります。以下に示します。
解の公式
二次方程式： \(ax^2 + bx + c = 0 \) の解 \(x\) は，次の公式で求まります。
\(x = \frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^2\:-\:4ac}}{2a} \)
ただし，\(b^2 \:-\: 4ac \:≧\: 0\) である。
\(x = \frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^2\:-\:4ac}}{2a} \)
ただし，\(b^2 \:-\: 4ac \:≧\: 0\) である。
解の公式に，例題の係数( a, b, c の部分)をあてはめてみます。
\(x^2\:-\:4\:=\:0\; と \;ax^2 + bx + c = 0\) を比較すると，
\(a\:=\:1,\:b\:=\:0,\:c\:=\:-4\) ですので，これを解の公式にあてはめると，
\(x = \frac{0\:\pm\:\sqrt{0^2\:-\:4\times1\times(-4)}}{2\:\times\:1}\:=\:\pm\frac{\sqrt{4\:\times\:4}}{2}\:=\:\pm\frac{4}{2}\:=\:\pm2\)
となり，因数分解をしなくても解を求めることができます。
しかしながら，ご覧の通り，前述の２つの方法に比べると計算量が多くなる傾向になりますので，「平方根を求める方法」，「因数分解する方法」を試してみて，無理そうな場合に「解の公式を利用する方法」を使うことをお勧めします。
いろんな問題をこなしていけば，どの方法でやるのが最適か判るようになると思います。判断基準として，\(b^2\:-\:4ac\:\)の値が平方数かどうかです。この値が平方数なら，前記の方法，この値が平方数にならない場合は，解の公式を使うことになります。
できれば，解の公式 の導き方も理解しておきましょう。