平方根

\(\)ある数 a に対して，\(x^2 = a\)を満たす(\(x\)を2乗して\(a\)になるとき) \(x\)を\(a\)の平方根といいます。
中学で平方根を考えるときは，a ≧ 0 という暗黙の条件が付加されます。
0 の平方根は 0 (のみ)であり，0以外の平方根は正および負で，絶対値が等しい 2つの数になります。例えば，２の平方根は\(\pm\sqrt{2}\)であり，4の平方根は \(\pm2\) です。

ここで例示した4の平方根は\(\pm2\)であるということは，問題なく納得できると思いますが，もう一方の 「2の平方根は\(\pm\sqrt{2}\)である」という表現について少し説明します。

ここで，いきなり 「√ (ルート)」 という記号を使いましたが，「何かの値」を2乗して，整数 2 になるとき，「何かの値」は，今までに習った数の概念にはない数値であり，「√」はこれを表現するための記号です。「√」記号は「根号(こんごう)」といいます。

平方根の中には，「√」記号を使わなくても表現できる数と，「√」記号を使わなければ表現できない数があります。「√」記号を使わずに表現できる値は，「√」記号は付けないようにします。例えば，上記の４の平方根はという問題に対しては，\(\pm\sqrt{4}\) とは答えず，\(\pm2\)と答えます。「√」記号を付けずに表現できる値か否かは，「√」の中が平方数(何かの値を2乗した数)か否かで判断します。

「√」の中の数値は，素因数分解して，2乗の因数が含まれている場合は，根号の外に出します。
その他いくつかの約束事がありますが，これらは，後述の根号が付いた数の計算方法で説明します。

また，わかり易いように，根号の中は 自然数 のみで説明していますが，根号の中は，分数や小数でも構いません。

小学校以来，分数を小数で表すと，無限小数になるものがあるという事実は，なんとなく，皆さん知っていると思います。たとえば，\(\frac{1}{3} = 0.333… \)，\(\frac{1}{7} = 0.142857142857… \)であり，分数を小数で表現すると，無限に数値の列が続く場合があります。上記で示した分数の小数表現は，ある桁から先は，有限個の数の列 (かたまり) が繰り返し登場する いわゆる 「循環小数」になる性質があります。\(\frac{1}{3}\)の場合は，小数点以下が「3」の繰り返し，\(\frac{1}{7}\)の場合は，小数点以下が「142857」という数の列の繰り返しになります。しかし, \(\sqrt{2}\) という数は，小数で表したとき(1.41421356…) は循環しません。ここでは証明は書きませんが，数学的には証明されています。逆に，循環小数は (整数を分子・分母に持つ) 分数で表すことができますが，循環しない小数は 分数では表すことができません。(\(\sqrt{2}\)は分数で表すことはできません。)

分数で表すことができる数を「有理数」，分数で表すことができない数を「無理数」といいます。無理数は，新しい概念の数の仲間です。無理数の「無理」は何かができない等の「ムリ」ではなく，「理不尽な」というニュアンスの「むり」です。無理数の仲間には，平方根以外に，円周率(いわゆるπ(パイ))などがあります。

・ √ の中が同じ値の足し算と引き算は，結合法則が成り立ちます。

・ √ で表された数値同士の掛け算は，根号内は根号内同士を掛け，根号外の数値は根号外の値同士を掛けます。割り算も同様です。

では，√ 記号が付いた掛け算は，√ 記号の中の数値を掛けた値に √ 記号を付けるのでしょうか。これを確認しておきましょう。

\(\sqrt{a} × \sqrt{b}\) を2乗すると，

これにより，√ 記号が付いた数値同士を掛けるときは，√ 記号の中身同士を掛けてから平方根(の正の部分)を求めれば良いことになります。

また，割り算の結果，分母に根号が付く場合は，できるだけ分母の根号を外します。根号を外す方法は，分子・分母の両方に分母の根号付きの値を掛けます。(ルートの有理化)

根号が付いた数値の大小関係は，根号の中の値の大小関係と同じである。→ \(a < b\; なら，\sqrt{a} < \sqrt{b}\)

\(\;\;\:\sqrt{a} < \sqrt{b}\;なら，a < b\)

根号が付いた数値と，根号が付かない数値の大小比較は，次のように判別する。

→ \(\sqrt{a}\) と b を比較する際は，