y = ax2
\(\)ここでは，二次関数\(\;y \:=\: ax^2\)の性質をまとめます。
\(y\:は\:x\:の2乗に比例するといい,\:x\:の値を\:n\:倍すると,\:y\:の値は \:n^2\: 倍になります。\)
具体的な例をいくつか見ましょう。
【正方形の面積】
1辺が\(\:x\:cm\) の正方形の面積 y \((cm^2)\)は，\(y = x^2\)となり，\(x\:と\:y\:\)の関係を表にすると，次のようになります。\(x\)が2倍，3倍，4倍になると，yは4倍，9倍, 16倍になることが確認できます。
| x (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y(\(cm^2)\) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 |
【扇形の面積】
次に半径\(\:x\:cm\) で中心角が 60° の扇形の面積: y(\(cm^2\))の関係は，\(\:y\:=\:\frac{\pi}{6}x^2\)ですが，これを表にすると，次のようになります。ただし，円周率は 3.14 で計算し，小数点第4位で四捨五入してあります。この場合も，\(x\)が2倍，3倍，4倍になると，yは4倍，9倍, 16倍になることが確認できます。
| x (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y(\(cm^2)\) | 0.523 | 2.093 | 4.710 | 8.373 | 13.083 | 18.540 |
【直方体の体積】
1辺が\(\:x\:cm\) の正方形を底面とし，高さが \(2 cm\:\) の立方体の体積 y \((cm^3)\)は，\(y = 2x^2\)となり，\(x\:と\:y\:\)の関係を表にすると，次のようになります。この場合も，\(x\)が2倍，3倍，4倍になると，yは4倍，9倍, 16倍になることが確認できます。
| x (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y (\(cm^3\)) | 2 | 8 | 18 | 32 | 50 | 72 |
ここまで，辺の長さと，図形の面積，体積の関係を見てきましたが，次のいずれの式においても，x が正の範囲で値を求めました。
1辺が \(x cm\) の正方形の面積： \(y \:=\: x^2\)
半径が \(x cm\), 中心角60°の扇形の面積: \(y \:=\: \frac{\pi}{6}x^2\)
1辺が \(x cm\) の正方形を底面とする高さ \(2cm\) の直方体の体積: \( y \:=\: 2x^2\)
これらの式の x の範囲を負の値まで拡張して表を作ると，次のようになります。
【\(y \:=\: x^2\)】
| x | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 36 | 25 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 |
【\(y \:=\: \frac{\pi}{6}x^2\)】
| x | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 18.840 | 13.083 | 8.373 | 4.410 | 2.093 | 0.523 | 0 | 0.523 | 2.093 | 4.710 | 8.373 | 13.083 | 18.840 |
【\(y \:=\: 2x^2\)】
| x | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 72 | 50 | 32 | 18 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | 18 | 32 | 50 | 72 |
上記，いずれの式も，y の値は x = 0 を中心に左右対称になっていることがわかります。これら３つをグラフに表すと次のようになります。
このようなグラフの形状を「放物線」といいます。グラフからも判るように，\(y \:=\: ax^2\) の a の値が小さければ緩やかなカーブ，a の値が大きければ急なカーブになります。これまでは，\(a > 0\) の場合について見てきましたが，\(a < 0\) の場合は，下のグラフのように，上下が逆の \( y \) の値が 負または 0 の放物線になります。
