H31 (2019) 栃木県 高校入試 数学 大問 6 [再投稿]
\(\)本投稿の内容を Word から投稿してみましたが，数式部分が崩れたりしましたので，WordPress のエディタで書き直して投稿します。
６ 形も大きさも同じ半径 1cm の円盤がたくさんある。これらを図１のように，縦 \(m\) 枚，横 \(n\) 枚(\(m, n\) は \(3\) 以上の整数)の長方形状に並べる。このとき，４つの角にある円盤の中心を結んでできる図形は長方形である。さらに，図２のように，それぞれの円盤は✖で示した点で他の円盤と接しており，ある円盤が接している円盤の枚数をその円盤に書く。例えば，図２は \(m = 3,\: n = 4\) の長方形状に並べたものであり，円盤Ａは２枚の円盤と接しているので，円盤Ａに書かれる数は２となる。同様に，円盤Ｂに書かれる数は３，円盤Ｃに書かれる数は４となる。また，\(m = 3,\: n = 4\) の長方形状に円盤を並べたとき，すべての円盤に他の円盤と接している枚数をそれぞれ書くと，図３のようになる。
このとき，次の１，２，３，４の問いに答えなさい。
１. \(m\:=\:4,\:n\:=\:5\) のとき，３が書かれた円盤の枚数を求めなさい。
円盤の配置は，下図のようになり，３が書かれた円盤の枚数は全部で 10 枚である。
２. \(m = 5,\: n = 6\) のとき，円盤に書かれた数の合計を求めなさい。
円盤の配置は図のようになり，各数字が書かれた枚数と，それぞれの合計値は，以下の通りになる。
2 が 4枚 で 合計 8
3 が 14枚 で 合計 42
4 が 12枚 で 合計 48
円盤に書かれた数値の合計は，8+42+48 = 98
2 が 4枚 で 合計 8
3 が 14枚 で 合計 42
4 が 12枚 で 合計 48
円盤に書かれた数値の合計は，8+42+48 = 98
３. \(m = x,\: n = x\) のとき，円盤に書かれた数の合計は \(440\) であった。このとき，\(x\) についての方程式をつくり \(x\) の値を求めなさい。ただし，途中の計算も書くこと。
2が書かれた円盤は4 隅の 4 枚
3が書かれた円盤は周囲の辺上にあり，一辺あたり\(x\:–\:2\)枚なので全部で\(4(x\:–\:2)\)枚
4が書かれた円盤は内部の矩形内にあり，全部で\((x-2)^2\) 枚
したがって，円盤に書かれた数値の合計を式で表すと次のようになる。
\(\;\;\;\;\;2×4 + 3×{4×(x – 2)} + 4×(x – 2)^2\)
\(\;= 8 + 12 x – 24 + 4 x^2 – 16x + 16\)
\(\;= 4x^2 – 4x\)
これが，\(440\)になるので，
\(4x^2\:–\:4x\:=\:\:440\)
\(x^2\:-\:x\:-\:110\:=\:0\)
\((x+10)(x – 11) = 0\)
\(x = -10 \:または\: x = 11\)
\(x ≧ 3 より，x = 11\)
3が書かれた円盤は周囲の辺上にあり，一辺あたり\(x\:–\:2\)枚なので全部で\(4(x\:–\:2)\)枚
4が書かれた円盤は内部の矩形内にあり，全部で\((x-2)^2\) 枚
したがって，円盤に書かれた数値の合計を式で表すと次のようになる。
\(\;\;\;\;\;2×4 + 3×{4×(x – 2)} + 4×(x – 2)^2\)
\(\;= 8 + 12 x – 24 + 4 x^2 – 16x + 16\)
\(\;= 4x^2 – 4x\)
これが，\(440\)になるので，
\(4x^2\:–\:4x\:=\:\:440\)
\(x^2\:-\:x\:-\:110\:=\:0\)
\((x+10)(x – 11) = 0\)
\(x = -10 \:または\: x = 11\)
\(x ≧ 3 より，x = 11\)
４. 次の文の①，②，③に当てはまる数を求めなさい。ただし，\( a,\: b \) は２以上の整数で，a < b とする。
m = a + 1, n = b + 1 として，円盤を図１のように並べる。4つの角にある円盤の中心を結んでできる長方形の面積が 780 \(cm^2\) となるとき，４が書かれた円盤の枚数は，a = ( ① ), b = ( ② ) のとき最も多くなり，その枚数は ( ③ ) 枚である。
4隅の中心を結んだときの長方形の縦横の長さは，それぞれ，
\(\;\; \begin{eqnarray} (m-1)\times 2 &=& 2a (cm), \\ (n-1)\times 2 &=& 2b (cm) \end{eqnarray} \)
である。
4隅の円盤の中心を結んでできる長方形の面積が \(780 cm^2\) だから，次の式が成り立つ。
\(\;\;\;\; 2a\times 2b\:=\:780\;→\:ab\:=\:195\;\;…[1]\)
４が書かれた円盤は，\(縦\:m\:-\:2\:=\:a\:-\:1\;\)枚，\(横\:n\:-\:2\:=\:b\:-\:1\;\)枚の長方形になるので，全部で，\((a\:-\:1)(b\:-\:1)\)枚である。
\(\;\;\;\; (a\:-\:1)(b\:-\:1)\:=\:ab\:-\:(a+b)+1\;\;…[2]\)
[2]に[1]を代入すると，４が書かれた円盤の枚数は，
\(\;\;\;\; 195\:-\:(a+b)+1\:=\:196\:-\:(a+b)\;\;…[3]\)
となる。そのため，４が書かれた円盤の枚数が最大になるのは，\(a+b\:\)が最小になるときである。
ここで，条件より，\(a,\:b\:は，2≦\:a\:<\:b\:\) … [4] となる自然数であり，\(a,\:b\:\)の間には，[1]の関係が成り立つ。
\(195\)を素因数分解すると，\(195\:=\:3\times 5\times 13\: \)であり，\(a,\:b\: \)がとりえる値は，条件 [4] を考慮すると，次の３通りである。
\(\;\;\;\;(a,\:b)\:=\: \{ (3,\:65),\:(5,\:39),\:(13,\:15) \} \)
各値の組の合計\((a+b)\)は，それぞれ，68, 44, 28であるので，\((a+b)\)が最小になる組み合わせは，
\(\;\;a\:=\:13,\:b\:=\:15\:\)のときである。… ①，② の答。
このときの，円盤の枚数は，\((a-1)(b-1)\:=\:12\times 14\:=\:168\)(枚) … ③ の答
(注) 円盤の枚数は，[3] に，\(a+b=28\)を代入して，\(196 – 28 = 168\)(枚) で OK.
\(\;\; \begin{eqnarray} (m-1)\times 2 &=& 2a (cm), \\ (n-1)\times 2 &=& 2b (cm) \end{eqnarray} \)
である。
4隅の円盤の中心を結んでできる長方形の面積が \(780 cm^2\) だから，次の式が成り立つ。
\(\;\;\;\; 2a\times 2b\:=\:780\;→\:ab\:=\:195\;\;…[1]\)
４が書かれた円盤は，\(縦\:m\:-\:2\:=\:a\:-\:1\;\)枚，\(横\:n\:-\:2\:=\:b\:-\:1\;\)枚の長方形になるので，全部で，\((a\:-\:1)(b\:-\:1)\)枚である。
\(\;\;\;\; (a\:-\:1)(b\:-\:1)\:=\:ab\:-\:(a+b)+1\;\;…[2]\)
[2]に[1]を代入すると，４が書かれた円盤の枚数は，
\(\;\;\;\; 195\:-\:(a+b)+1\:=\:196\:-\:(a+b)\;\;…[3]\)
となる。そのため，４が書かれた円盤の枚数が最大になるのは，\(a+b\:\)が最小になるときである。
ここで，条件より，\(a,\:b\:は，2≦\:a\:<\:b\:\) … [4] となる自然数であり，\(a,\:b\:\)の間には，[1]の関係が成り立つ。
\(195\)を素因数分解すると，\(195\:=\:3\times 5\times 13\: \)であり，\(a,\:b\: \)がとりえる値は，条件 [4] を考慮すると，次の３通りである。
\(\;\;\;\;(a,\:b)\:=\: \{ (3,\:65),\:(5,\:39),\:(13,\:15) \} \)
各値の組の合計\((a+b)\)は，それぞれ，68, 44, 28であるので，\((a+b)\)が最小になる組み合わせは，
\(\;\;a\:=\:13,\:b\:=\:15\:\)のときである。… ①，② の答。
このときの，円盤の枚数は，\((a-1)(b-1)\:=\:12\times 14\:=\:168\)(枚) … ③ の答
(注) 円盤の枚数は，[3] に，\(a+b=28\)を代入して，\(196 – 28 = 168\)(枚) で OK.
1, 2の問題は，とりあえず，絵を描いてみることですね。1, 2 の絵が描けたら円盤の数値がどのように配置されるかは，なんとなく，判ってくると思います。
4隅は，数値２が配置され，一番外側(周囲)の4隅以外は，数値３が配置される。そして，周囲以外(長方形／正方形)の内部には，すべて，数値４が配置される。
ここで，m, nは３以上の整数 という条件から，周囲には２と３が書かれた円盤が混在し，内部には４が書かれた円盤が少なくとも一つ配置されることがわかります。３の枚数は，上辺と下辺が m – 2 枚，左辺と右辺は n-2 枚になります。4の枚数は，(m-2)×(n-2)枚です。
３の問題は上記の規則を m と n の両方を x とおいて，x の2次式を作り，x を求めることになります。
４の問題は，いわゆる，整数問題というもので，問題で与えられた条件から，文字 a, b を使った２つの関係式を作ります。ひとつは，長方形の面積から算出されるもので，縦／横がそれぞれ a+1, b+1 枚の時，円の中心を結んでできる長方形の縦と横の長さは，2a と 2b に
になることが理解できれば，[1] の式が導かれます。
また，４が書かれた円盤の枚数は，1,2 の問題から，(m-2)×(n-2)枚とわかっていますので，これに，m=a+1, n=b+1 を代入して 文字 a, b を使って面積を表すと[2] の式が導かれます。
[1] 式で，a, b はいずれも整数であることから 195 の約数である必要があり，
条件[4] を考えない場合，a, b の取りえる値の範囲は，{ 1, 3, 5, 13, 15, 39, 65, 195 }であり，条件[4] を考慮すると，答に記載した通りの3組の数値に絞られます。あとは，この3組の数値の和が最小なものを選べば良いことになります。